Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji

Pojęcie stycznej do wykresu funkcji $ f $ w danym punkcie wykresu $ P(x_0,f(x_0)) $ jest ściśle związane z pochodną funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $. Styczną możemy traktować jako geometryczną interpretację pochodnej funkcji.
Pojęcie stycznej w sensie rachunku różniczkowego jest czymś innym niż styczna do figury czyli prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z figurą, którą poznaje się w szkole średniej.

Definicja 1: Styczna do wykresu funkcji

Niech $ x_0\in \mathbb{R} $ oraz funkcja $ f $ będzie określona i ciągła w otoczeniu $ O(x_0) $.

Styczną do wykresu funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $ (w punkcie wykresu $ P (x_0, f(x_0)) $ lub dla argumentu $ x_0 $) nazywamy prostą będąca granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji $ f $ przechodzących przez punkty $ (x_0, f(x_0)) $ i $ (x, f(x)) $, gdy $ x\to x_0 $.

$Styczna do wykresu funkcji w punkcie {OPENAGHMATHJAX()}x_0{OPENAGHMATHJAX} jako graniczne położenie siecznych, gdy {OPENAGHMATHJAX()}x\to x_0{OPENAGHMATHJAX}.$

Rysunek 1: Styczna do wykresu funkcji w punkcie $ x_0 $ jako graniczne położenie siecznych, gdy $ x\to x_0 $.

Uwaga 1:

Współczynnik kierunkowy siecznej przechodzącej przez punkty $ (x_0, f(x_0)) $ i $ (x, f(x)) $ jest dany wzorem

$ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. $

Rysunek 2: Sieczna i styczna do wykresu funkcji - uzasadnienie wzoru na współczynnik kierunkowy siecznej.

Styczna jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji $ f $ przechodzących przez punkty $ (x_0, f(x_0)) $ i $ (x, f(x)) $, gdy $ x\to x_0 $, czyli współczynnik kierunkowy stycznej będzie odpowiadał granicy właściwej funkcji $ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ przy $ x\to x_0 $ (o ile istnieje). Stąd widać już związek stycznej z pochodną funkcji.

Uwaga 2:

Geometrycznie styczna jest prostą, która w sąsiedztwie punktu styczności najlepiej przybliża wykres funkcji różniczkowalnej.

Uwaga 3:

Jeżeli $ y=ax+b $ jest przepisem stycznej do wykresu funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $, to liczba $ a $ (współczynnik kierunkowy stycznej) jest równa pochodnej funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $.

Przykład 1:

W dowolnym punkcie $ x_0\in\mathbb{R} $ styczna do wykresu funkcji $ f(x)=2x-1 $ pokrywa się z wykresem tej funkcji.

Wykres funkcji {OPENAGHMATHJAX()}f(x)=2x-1{OPENAGHMATHJAX} i stycznej do niego.

Rysunek 3: Wykres funkcji $ f(x)=2x-1 $ i stycznej do niego.

W związku z tym, pochodna funkcji $ f $ w każdym punkcie $ x_0 $ jest równa $ 2 $, bo jest równa współczynnikom kierunkowym stycznych do wykresu funkcji $ f $ w punktach $ x_0 $, które stale wynoszą $ 2 $. Zatem $ f^{\prime}(x_0)=2 $ dla każdego $ x_0\in\mathbb{R} $.

Zwróćmy jeszcze raz uwagę, że określenie stycznej do wykresu funkcji jako prostej, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, jest błędne. Przykład stycznej do wykresu funkcji w punkcie $ x_0 $, która ma więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem przedstawia poniższy rysunek.

Rysunek 4: Wykres funkcji i stycznej do niego, które mają dwa punkty wspólne.

Natomiast w rozważaliśmy funkcję, której wykres pokrywa się ze styczną w dowolnym punkcie $ \mathbb{R} $, czyli wykres i styczna mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Z drugiej strony, oczywiście, każdy z łatwością wskaże proste mające tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, a nie są stycznymi do tego wykresu.

Uwaga 4:

Nie w każdym punkcie ciągłości funkcji istnieje styczna do wykresu tej funkcji.

Uwaga 5:

Jeżeli nie istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie $ x_0 $, to nie istnieje również pochodna tej funkcji w punkcie $ x_0 $.

Przykład 2:

Funkcja $ k(x)=|x-3| $ nie posiada ani stycznej, ani w $ x_0=3 $.

$Wykres funkcji {OPENAGHMATHJAX()}k(x)=|x-3|{OPENAGHMATHJAX} nie mającej stycznej w punkcie {OPENAGHMATHJAX()}x_0=3{OPENAGHMATHJAX}.$

Rysunek 5: Wykres funkcji $ k(x)=|x-3| $ nie mającej stycznej w punkcie $ x_0=3 $.

Styczna w punkcie $ x_0 $ istnieje, jeżeli otrzymamy tą samą prostą jako graniczne położenie siecznych wykresu funkcji przy $ x $ zmierzającym do $ x_0 $ z lewej strony i przy $ x $ zmierzającym do $ x_0 $ z prawej strony. W przypadku funkcji $ k(x)=|x-3| $ każda sieczna wykresu przechodząca przez punkty $ (x_0, k(x_0)) $ i $ (x, k(x)) $, gdy $ x\lt x_0 $, ma przepis $ y=-x+3 $, a zatem i prosta będąca ich granicznym położeniem, przy $ x\to x_0 $, ma przepis $ y=-x+3 $. Natomiast, gdy $ x\gt x_0 $, sieczne i prosta będąca ich granicznym położeniem mają przepis $ y=x-3 $. Zatem prosta będąca położeniem granicznym lewostronnym (granica lewostronna) jest różna od prostej będącą położeniem granicznym prawostronnym (granicy prawostronnej), czyli prosta będąca położeniem granicznym obustronnym (granica obustronna) nie istnieje.

Uwaga 6:

Podsumowując, pochodna (właściwa) funkcji ciągłej w punkcie $ x_0 $ (czyli współczynnik kierunkowy stycznej w tym punkcie) będzie istniała, jeżeli będzie istniała styczna do wykresu funkcji w tym punkcie oraz będzie miała równanie kierunkowe (czyli styczna nie będzie pionowa).

W ostatniej uwadze został wspomniany przypadek pionowej stycznej do wykresu funkcji. Taka sytuacja ma miejsce, gdy funkcja jest ciągła w otoczeniu $ O(x_0) $ i obie pochodne jednostronne w $ x_0 $ są niewłaściwe (pochodna obustronna może istnieć lub nie).

$Pionowa styczna do wykresu funkcji - istnieje pochodna niewłaściwa w {OPENAGHMATHJAX()}x_0{OPENAGHMATHJAX}.$

Rysunek 6: Pionowa styczna do wykresu funkcji - istnieje pochodna niewłaściwa w $ x_0 $.

$Pionowa styczna do wykresu funkcji - nie istnieje pochodna w {OPENAGHMATHJAX()}x_0{OPENAGHMATHJAX}.$

Rysunek 7: Pionowa styczna do wykresu funkcji - nie istnieje pochodna w $ x_0 $.

Zwróćmy uwagę, że przypadek stycznej pionowej spełnia definicję stycznej do wykresu funkcji. Przykładem takiej stycznej jest prosta $ x=0 $, która jest styczną do wykresu funkcji $ f(x)=\sqrt[3]{x} $ w punkcie $ x_0=0 $.

Dla ustalonego $ x_0\in \mathbb{R} $ można łatwo wyprowadzić przepis na styczną do wykresu funkcji, jeżeli funkcja ma pochodną (właściwą) w punkcie $ x_0 $. Na podstawie wcześniejszych obserwacji równanie stycznej do wykresu funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $ ma postać

$ y=f^{\prime}(x_0)\cdot x+b. $

Ponadto punkt styczności $ (x_0,f(x_0)) $ należy do stycznej, więc

$ f(x_0)=f^{\prime}(x_0)\cdot x_0+b, \quad\text{ stąd }\quad b=f(x_0)-f^{\prime}(x_0)\cdot x_0. $

Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $ ma postać:

$ y=f^{\prime}(x_0)\cdot x+f(x_0)-f^{\prime}(x_0)\cdot x_0. $

Na podstawie tego wyprowadzenia sformułujmy twierdzenie.

Twierdzenie 1: o równaniu stycznej do wykresu funkcji

Niech $ x_0\in \mathbb{R} $ oraz funkcja $ f $ będzie określona w otoczeniu $ O(x_0) $ i posiada pochodną (właściwą) w punkcie $ x_0 $. Równanie stycznej do wykresu funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $ ma postać

$ y=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0). $

Przykład 3:

Wskażmy równanie stycznej do wykresu funkcji $ f(x)=\sqrt[3]{x} $ dla argumentu $ x_0=8 $. Pochodna funkcji $ f $ to

$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \text{ dla } x\neq 0, $

zatem

$ f^{\prime}(x_0)=f^{\prime}(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{12}. $

Ponadto

$ f(x_0)=f(8)=\sqrt[3]{8}=2. $

Równanie stycznej do wykresu funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $ ma postać:

$ y=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0), $

więc w tym przypadku

$ y=\frac{1}{12}(x-8)+2. $

Po uporządkowaniu:

$ y=\frac{1}{12}x+\frac{4}{3}. $

$Wykres funkcji {OPENAGHMATHJAX()}f(x)=\sqrt[3]{x}{OPENAGHMATHJAX} i styczna do jej wykresu dla argumentu {OPENAGHMATHJAX()}x_0=8{OPENAGHMATHJAX}.$

Rysunek 8: Wykres funkcji $ f(x)=\sqrt[3]{x} $ i styczna do jej wykresu dla argumentu $ x_0=8 $.

Znając własności współczynnika kierunkowego $ a $ prostej $ y=ax+b $, możemy sformułować następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2: o kącie nachylenia stycznej do dodatniej części osi $ Ox $

Niech $ x_0\in \mathbb{R} $ oraz funkcja $ f $ będzie określona w otoczeniu $ O(x_0) $ i posiada pochodną (właściwą) w punkcie $ x_0 $. Niech $ \alpha $ oznacza miarę kąta skierowanego między dodatnią częścią osi $ Ox $ i styczną do wykresu funkcji $ f $ w punkcie $ (x_0, f(x_0)) $. Wtedy

$ \text{tg}\,\alpha=f^{\prime}(x_0). $

Jednym z zastosowań stycznej, a tym samym pochodnej funkcji, jest określenie kąta między krzywymi będącymi wykresami funkcji, które się przecinają.

Definicja 2: Kąt przecięcia się wykresów funkcji

Niech $ x_0\in \mathbb{R} $. Niech funkcje $ f $ i $ g $ będą określone w otoczeniu $ O(x_0) $, posiadają pochodne właściwe lub niewłaściwe w punkcie $ x_0 $ oraz ich wykresy mają punkt wspólny $ (x_0,y_0) $.

Kątem przecięcia się wykresów funkcji $ f $ i $ g $ w punkcie $ (x_0,y_0) $ nazywamy kąt ostry lub prosty między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie przecięcia $ (x_0,y_0) $.

Kąt przecięcia się wykresów funkcji {OPENAGHMATHJAX()}f{OPENAGHMATHJAX} i {OPENAGHMATHJAX()}g{OPENAGHMATHJAX}.

Rysunek 9: Kąt przecięcia się wykresów funkcji $ f $ i $ g $.

Kąt przecięcia się wykresów funkcji możemy obliczyć, wykorzystując twierdzenie:

Twierdzenie 3: o kącie przecięcia się wykresów funkcji

Niech $ x_0\in \mathbb{R} $. Niech funkcje $ f $ i $ g $ będą określone w otoczeniu $ O(x_0) $, posiadają pochodne (właściwe) w punkcie $ x_0 $ oraz ich wykresy mają punkt wspólny $ (x_0,y_0) $. Miara kąta $ \varphi $ przecięcia się wykresów funkcji $ f $ i $ g $ w punkcie $ (x_0,y_0) $ wyraża się wzorem

$ \varphi=\text{arctg} \left|\frac{f^{\prime}(x_0)-g^{\prime}(x_0)}{1+f^{\prime}(x_0)g^{\prime}(x_0)}\right|\text{, gdy }f^{\prime}(x_0)g^{\prime}(x_0) \neq -1. $

Jeżeli $ f^{\prime}(x_0)g^{\prime}(x_0)=-1 $, to $ \varphi=\frac{\pi}{2} $.

Powyższy wzór jest konsekwencją wzoru na tangens różnicy kątów oraz związku pochodnej funkcji w punkcie ze styczną do wykresu funkcji w tym punkcie. Wartość $ \frac{f^{\prime}(x_0)-g^{\prime}(x_0)}{1+f^{\prime}(x_0)g^{\prime}(x_0)} $ jest równa tangensowi kąta $ \varphi $ lub kąta do niego przyległego. Wartość tangensa dla kątów przyległych różni się tylko znakiem. Szukamy tangensa dodatniego kąta ostrego, więc właściwą wartość wybieramy przez zastosowanie wartości bezwzględnej.

Matematyka